Визначення 1. Призматична поверхню
Теорема 1. Про паралельних перетинах призматической поверхні
Визначення 2. Перпендикулярне перетин призматической поверхні
Визначення 3. Призма
Визначення 4. Висота призми
Визначення 5. Пряма призма
Теорема 2. Площа бічної поверхні призми
паралелепіпед:
Визначення 6. Паралелепіпед
Теорема 3. Про перетині диагоналях паралелепіпеда
Визначення 7. Прямий паралелепіпед
Визначення 8. Прямокутний паралелепіпед
Визначення 9. Вимірювання паралелепіпеда
Визначення 10. Куб
Визначення 11. ромбоедрі
Теорема 4. Про диагоналях прямокутного паралелепіпеда
Теорема 5. Обсяг призми
Теорема 6. Обсяг прямої призми
Теорема 7. Обсяг прямокутного паралелепіпеда
призмою називається багатогранник, у якого дві грані (підстави) лежать в паралельних площинах, а ребра, які не лежать в цих гранях, паралельні між собою.
Грані, відмінні від підстав, називаються бічними.
Сторони бічних граней і підстав називаються ребрами призми, Кінці ребер називаються вершинами призми. бічними ребрами називаються ребра, які не належать підставах. Об'єднання бічних граней називається бічною поверхнею призми, А об'єднання всіх граней називається повної поверхнею призми. висотою призми називається перпендикуляр, опущений з точки верхнього підстави на площину нижньої основи або довжина цього перпендикуляра. 
прямий призмоюназивається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні площинах підстав. 
правильною називається пряма призма (Рис.3), в основі якої лежить правильний багатокутник.
позначення:
l - бічне ребро;
P - периметр підстави;
S o - площа підстави;
H - висота;
P ^ - периметр перпендикулярного перетину;
S б - площа бічної поверхні;
V - об'єм;
S п - площа повної поверхні призми.
|
V \u003d SH |
*При цьому передбачається, що кожні дві послідовні площині перетинаються і що остання площину перетинає першу
теорема 1 . Перетину призматической поверхні площинами, паралельними між собою (але не паралельними її ребрах), являють собою рівні багатокутники.
Нехай ABCDE і A "B" C "D" E "- перетину призматической поверхні двома паралельними площинами. Щоб переконатися, що ці два багатокутника рівні, досить показати, що трикутники ABC і А" В "С" рівні і мають однаковий напрямок обертання і що то ж має місце і для трикутників ABD і A "B" D ", ABE і А" В "Е". Але відповідні сторони цих трикутників паралельні (наприклад АС паралельно А "С") як лінії перетину деякій площині з двома паралельними площинами; звідси випливає, що ці сторони рівні (наприклад АС одно А "С") як протилежні сторони паралелограма і що кути, утворені цими сторонами, рівні і мають однаковий напрямок.
визначення 2 . Перпендикулярним перетином призматической поверхні називається перетин цієї поверхні площиною, перпендикулярної до її ребрах. На підставі попередньої теореми все перпендикулярні перетину однієї і тієї ж призматической поверхні будуть рівними багатокутниками.
визначення 3
. Призмою називається багатогранник, обмежений призматической поверхнею і двома площинами, паралельними між собою (але непаралельними ребрах призматической поверхні)
Грані, що лежать в цих останніх площинах, називаються підставами призми; грані, що належать призматической поверхні, - бічними гранями; ребра призматической поверхні - бічними ребрами призми. В силу попередньої теореми, підстави призми - рівні багатокутники. Всі бічні грані призми - паралелограми; всі бічні ребра рівні між собою.
Очевидно, що якщо дано підстава призми ABCDE і одне з ребер АА "за величиною і за напрямком, то можна побудувати призму, проводячи ребра ВВ", СС ", .., рівні і паралельні ребру АА".
визначення 4 . Висотою призми називається відстань між площинами її основ (НH ").
визначення 5
. Призма називається прямою, якщо її підставами є перпендикулярні перетину призматической поверхні. В цьому випадку висотою призми служить, звичайно, її бічне ребро; бічні грані будуть прямокутниками.
Призми можна класифікувати за кількістю бічних граней, рівному числу сторін багатокутника, службовця її підставою. Таким чином, призми можуть бути трикутні, чотирикутні, п'ятикутні і т.д.
теорема 2
. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку бічного ребра на периметр перпендикулярного перетину.
Нехай ABCDEA "B" C "D" E "- дана призма і abcde - її перпендикулярний переріз, так що відрізки ab, bc, .. перпендикулярні до її бічним ребрам. Грань АВА" В "є паралелограма; його площа дорівнює добутку підстави АА "на висоту, яка збігається з аb; площа грані ВСВ "С" дорівнює добутку підстави ВВ "на висоту bc і т. д. Отже, бокова поверхня (т. е. сума площ бічних граней) дорівнює добутку бічного ребра, інакше кажучи, загальної довжини відрізків АА", ВВ ", .., на суму ab + bc + cd + de + еа.
В шкільній програмі по курсу стереометрії вивчення об'ємних фігур зазвичай починається з простого геометричного тіла - багатогранника призми. Роль її основ виконують 2 рівних багатокутника, що лежать в паралельних площинах. Окремим випадком є \u200b\u200bправильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакових правильних чотирикутника, до яких перпендикулярні бічні сторони, які мають форму паралелограма (або прямокутників, якщо призма не схилили).
Як виглядає призма
Правильною чотирикутної призмою називається шестигранник, в підставах якого знаходяться 2 квадрата, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури - прямий паралелепіпед.
Малюнок, на якому зображена чотирикутна призма, показаний нижче.
На зображенні також можна побачити найважливіші елементи, з яких складається геометричне тіло. До них прийнято відносити:
Іноді в задачах з геометрії можна зустріти поняття перетину. Визначення буде звучати так: перетин - це все точки об'ємного тіла, що належать січною площині. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональне перетин (максимальна кількість перетинів, яких можна побудувати - 2), що проходить через 2 ребра і діагоналі підстави.
Якщо ж перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні основам, ні бічних гранях, в результаті виходить усічена призма.
Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини і формули. Частина з них відома з курсу планіметрії (наприклад, для знаходження площі підстави призми досить згадати формулу площі квадрата).
Площа поверхні та об'єм
Щоб визначити обсяг призми за формулою, необхідно знати площу її заснування і висоту:
V \u003d Sосн · h
Так як підставою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a,можна записати формулу в більш докладному вигляді:
V \u003d a² · h
Якщо мова йде про кубі - правильної призмі з рівною довжиною, шириною і висотою, обсяг обчислюється так:
Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити собі її розгортку.
З креслення видно, що бокова поверхня складена з 4 рівних прямокутників. Її площа обчислюється як твір периметра підстави на висоту фігури:
Sбок \u003d Pосн · h
З урахуванням того, що периметр квадрата дорівнює P \u003d 4a,формула набуває вигляду:
Sбок \u003d 4a · h
Для куба:
Sбок \u003d 4a²
Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:
Sполн \u003d Sбок + 2Sосн
Стосовно до чотирикутної правильної призмі формула має вигляд:
Sполн \u003d 4a · h + 2a²
Для площі поверхні куба:
Sполн \u003d 6a²
Знаючи обсяг або площа поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.
Знаходження елементів призми
Часто зустрічаються завдання, в яких дано обсяг або відома величина бічної площі поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи або висоту. У таких випадках формули можна вивести:
- довжина сторони підстави: a \u003d Sбок / 4h \u003d √ (V / h);
- довжина висоти або бокового ребра: h \u003d Sбок / 4a \u003d V / a²;
- площа підстави: Sосн \u003d V / h;
- площа бічної грані: Sбок. гр \u003d Sбок / 4.
Щоб визначити, яку площу має діагональне перетин, необхідно знати довжину діагоналі і висоту фігури. для квадрата d \u003d a√2. З цього слід:
Sдіаг \u003d ah√2
Для обчислення діагоналі призми використовується формула:
dпріз \u003d √ (2a² + h²)
Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.
Приклади завдань з рішеннями
Ось кілька завдань, що зустрічаються в державних підсумкових іспитах з математики.
Завдання 1.
В коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 см. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною підстави в 2 рази більше?
Слід міркувати таким чином. Кількість піску в першій і другій ємності нічого не змінено, т. Е. Його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину підстави за a. У такому випадку для першої коробки обсяг речовини складе:
V₁ \u003d ha² \u003d 10a²
Для другої коробки довжина підстави становить 2a, Але невідома висота рівня піску:
V₂ \u003d h (2a) ² \u003d 4ha²
оскільки V₁ \u003d V₂, Можна прирівняти вирази:
10a² \u003d 4ha²
Після скорочення обох частин рівняння на a² виходить:
В результаті новий рівень піску складе h \u003d 10/4 \u003d 2,5 см.
Завдання 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильна призма. Відомо, що BD \u003d AB₁ \u003d 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.
Щоб було простіше зрозуміти, які саме елементи відомі, можна зобразити фігуру.
Оскільки мова йде про правильну призмі, можна зробити висновок, що в основі знаходиться квадрат з діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, рівного підстави. Виходить, що всі три виміри - довжина, ширина і висота - рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.
Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:
a \u003d d / √2 \u003d 6√2 / √2 \u003d 6
Площа повної поверхні знаходиться за формулою для куба:
Sполн \u003d 6a² \u003d 6 · 6² \u003d 216
Завдання 3.
У кімнаті проводиться ремонт. Відомо, що її стать має форму квадрата з площею 9 квадратних метрів. Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м² коштує 50 рублів?
Оскільки підлогу і стелю є квадратами, т. Е. Правильними чотирикутника, і стіни її перпендикулярні горизонтальних поверхнях, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічній поверхні.
Довжина кімнати становить a \u003d √9 \u003d 3 м.
Шпалерами буде обклеєна площа Sбок \u003d 4 · 3 · 2,5 \u003d 30 м².
Найменша вартість шпалер для цієї кімнати складе 50 · 30 \u003d 1500 рублів.
Таким чином, для вирішення завдань на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу і периметр квадрата і прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об'єму та площі поверхні.
Як знайти площу куба
Як вона виглядає
Прямокутних призм в оточенні сучасної людини досить багато. Це, наприклад, звичайна картонна з-під взуття, комп'ютерних комплектуючих і т.п. Озирніться по сторонах. Навіть в кімнаті ви напевно побачите безліч прямокутних призм. Це і комп'ютерний корпус, і книжкова, і холодильник, і шафа, і безліч інших предметів. Форма надзвичайно популярна головним чином тому, що дозволяє використовувати місце максимально ефективно, незалежно від того, оформляєте ви інтер'єр або укладаєте речі в картонні перед переїздом.Властивості прямокутної призми
Прямокутна призма має низку специфічних властивостей. Будь-яка пара граней може служити її, оскільки все сусідні грані розташовані один до одного під одним і тим же кутом, і кут цей становить 90 °. Обсяг і площа поверхні прямокутної призми обчислити простіше, ніж будь-яка інша. Візьміть будь-який предмет, що має форму прямокутної призми. Виміряйте його довжину, ширину і висоту. Щоб знайти обсяг, досить перемножити ці мірки. Тобто формула виглядає так: V \u003d a * b * h, де V - об'єм, a і b - сторони підстави, h - висота, яка у цього геометричного тіла збігається з бічним ребром. Площа підстави обчислюється за формулою S1 \u003d a * b. Щоб бічній поверхні, потрібно спочатку вирахувати периметр основи за формулою P \u003d 2 (a + b), а потім помножити його на висоту. Виходить формула S2 \u003d P * h \u003d 2 (a + b) * h. Для обчислення повної поверхні прямокутної призми складіть подвоєну площу підстави і площа бічної поверхні. Вийде формула S \u003d 2S1 + S2 \u003d 2 * a * b + 2 * (a + b) * h \u003d 2Призма. паралелепіпед
призмоюназивається багатогранник, дві грані якого - рівні n-косинці (основи) , Що лежать в паралельних площинах, а решта n граней - паралелограми (Бічні грані) . бічним ребром призми називається сторона бічної грані, яка не належить основи.
Призма, бічні ребра якої перпендикулярні площин підстав, називається прямий призмою (рис. 1). Якщо бічні ребра що перпендикулярні площин підстав, то призма називається похилій . правильною призмою називається пряма призма, основи якої - правильні багатокутники.
висотоюпризми називається відстань між площинами підстав. діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, які не належать одній грані. діагональним перерізом називається перетин призми площиною, що проходить через два бічних ребра, які не належать одній грані. перпендикулярним перетином називається перетин призми площиною, перпендикулярної бічному ребру призми.
Площею бічної поверхні призми називається сума площ всіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ всіх граней призми (тобто сума площ бічних граней і площ підстав).
Для довільної призми вірні формули:
де l - довжина бічного ребра;
H - висота;
P
Q
S-пліч
S повн
S осн - площа підстав;
V - обсяг призми.
Для прямої призми вірні формули:
де p - периметр підстави;
l - довжина бічного ребра;
H - висота.
параллелепипедом називається призма, основою якої служить паралелограм. Паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основ, називається прямим (Рис. 2). Якщо бічні ребра що перпендикулярні підставах, то паралелепіпед називається похилим . Прямий паралелепіпед, підставою якого є прямокутник, називається прямокутним. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.
Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними . Довжини ребер, що виходять з однієї вершини, називаються вимірами паралелепіпеда. Так як паралелепіпед - це призма, то основні його елементи визначаються аналогічно тому, як вони визначені для призм.
Теореми.
1. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів: 
3. 
Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою.
Для довільного паралелепіпеда вірні формули:
де l - довжина бічного ребра;
H - висота;
P - периметр перпендикулярного перетину;
Q - Площа перпендикулярного перетину;
S-пліч - площа бічної поверхні;
S повн - площа повної поверхні;
S осн - площа підстав;
V - обсяг призми.
Для прямого паралелепіпеда вірні формули:
де p - периметр підстави;
l - довжина бічного ребра;
H - висота прямого паралелепіпеда.
Для прямокутного паралелепіпеда вірні формули:
(3)
де p - периметр підстави;
H - висота;
d - діагональ;
a, b, c - вимірювання паралелепіпеда.
Для куба вірні формули:
де a - довжина ребра;
d - діагональ куба.
Приклад 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 33 дм, а його вимірювання відносяться, як 2: 6: 9. Знайти вимірювання паралелепіпеда.
Рішення. Для знаходження вимірювань паралелепіпеда скористаємося формулою (3), тобто тим фактом, що квадрат гіпотенузи прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. позначимо через k коефіцієнт пропорційності. Тоді вимірювання паралелепіпеда дорівнюватимуть 2 k, 6k і 9 k. Запишемо формулу (3) для даних завдання:
Вирішуючи це рівняння щодо k, Отримаємо:
Значить, вимірювання паралелепіпеда рівні 6 дм, 18 дм і 27 дм.
відповідь: 6 дм, 18 дм, 27 дм.
Приклад 2. Знайти обсяг похилій трикутної призми, основою якої служить рівносторонній трикутник зі стороною 8 см, якщо бічне ребро дорівнює стороні підстави і нахилене під кутом 60º до основи.
Рішення
.
Зробимо малюнок (рис. 3).
Для того, щоб знайти об'єм похилої призми необхідно знати площу її заснування і висоту. Площа підстави даної призми - це площа рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Обчислимо її:
Висотою призми є відстань між її підставами. з вершини А 1 верхнього підстави опустимо перпендикуляр на площину нижньої основи А 1 D. Його довжина і буде висотою призми. Розглянемо D А 1 А D: Так як це кут нахилу бічного ребра А 1 А до площини підстави, А 1 А \u003d 8 см. З цього трикутника знаходимо А 1 D:
Тепер обчислюємо обсяг за формулою (1):
відповідь: 192 см 3.
Приклад 3. Бічне ребро правильної шестикутної призми дорівнює 14 см. Площа найбільшого діагонального перерізу дорівнює 168 см 2. Знайти площу повної поверхні призми.
Рішення. Зробимо малюнок (рис. 4)
Найбільше діагональне перетин - прямокутник AA 1 DD 1, так як діагональ AD правильного шестикутника ABCDEF є найбільшою. Для того, щоб обчислити площу бічної поверхні призми, необхідно знати сторону підстави і довжину бічного ребра.
Знаючи площу діагонального перерізу (прямокутника), знайдемо діагональ підстави.
Оскільки, то 
Так як то АВ \u003d 6 см.
Тоді периметр підстави дорівнює:
Знайдемо площу бічної поверхні призми:
Площа правильного шестикутника зі стороною 6 см дорівнює:
Знаходимо площа повної поверхні призми:
відповідь: 
Приклад 4. Підставою прямого паралелепіпеда служить ромб. Площі діагональних перетинів 300 см 2 і 875 см 2. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.
Рішення. Зробимо малюнок (рис. 5).
Позначимо сторону ромба через а, Діагоналі ромба d 1 і d 2, висоту паралелепіпеда h. Щоб знайти площу бічної поверхні прямого паралелепіпеда необхідно периметр підстави помножити на висоту: (формула (2)). периметр підстави р \u003d АВ + ВС + CD + DA \u003d 4AB \u003d 4a, так як ABCD - ромб. Н \u003d АА 1 = h. Т.ч. необхідно знайти а і h.
Розглянемо діагональні перерізи. АА 1 СС 1 - прямокутник, одна сторона якого діагональ ромба АС = d 1, друга - бічне ребро АА 1 = h, тоді
Аналогічно для перетину ВВ 1 DD 1 отримаємо:
Використовуючи властивість паралелограма таке, що сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його сторін, отримаємо рівність Отримаємо наступне.
