У задачі комівояжера для формування оптимального маршруту об'їзду n міст необхідно вибрати одне з кращих (n-1)! варіантів за критерієм часу, вартості чи довжиною маршруту. Це завдання пов'язані з визначенням гамільтонова циклу мінімальної довжини. У таких випадках безліч усіх можливих рішень слід подати у вигляді дерева - зв'язкового графа, що не містить циклів та петель. Корінь дерева об'єднує безліч варіантів, а вершини дерева - це підмножини частково впорядкованих варіантів рішень.
Призначення сервісу. За допомогою сервісу можна перевірити своє рішення або отримати нове рішення задачі комівояжера двома методами: методом гілок та кордонів та угорським методом.
Математична модель завдання комівояжера
Сформульована задача – завдання цілечислове. Нехай х ij =1 якщо мандрівник переїжджає з i-ого міста в j-ий і х ij =0 якщо це не так.Формально введемо (n+1) місто, розташоване там-таки, де й перше місто, тобто. відстані від (n+1) міста до будь-якого іншого, відмінного від першого, дорівнюють відстаням від першого міста. При цьому, якщо з першого міста можна лише вийти, то (n+1) місто можна лише прийти.
Введемо додаткові цілі змінні, що рівні номеру відвідування цього міста на шляху. u 1 = 0, u n +1 = n. Для того, щоб уникнути замкнутих шляхів, вийти з першого міста і повернутися до (n+1) введемо додаткові обмеження, що зв'язують змінні x ij та змінні u i (u i цілі негативні числа).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, при i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n
Методи вирішення завдання комівояжера
- метод гілок та кордонів (алгоритм Літтла або виключення підциклів). Приклад вирішення методом гілок та кордонів;
- угорський метод. Приклад рішення угорським методом.
Алгоритм Літтла або виключення підциклів
- Операція редукції за рядками: у кожному рядку матриці знаходять мінімальний елемент d min і віднімають його від усіх елементів відповідного рядка. Нижня межа: H = ∑d min.
- Операція редукції по стовпцях: у кожному стовпці матриці вибирають мінімальний елемент d min і віднімають його з усіх елементів відповідного стовпця. Нижній кордон: H=H+∑d min.
- Константа приведення H є нижньою межею множини всіх допустимих гамільтонових контурів.
- Пошук ступенів нулів для наведеної по рядках та стовпців матриці. Для цього тимчасово нулі в матиці замінює на знак «∞» і знаходять суму мінімальних елементів рядка та стовпця, що відповідають цьому нулю.
- Вибирають дугу (i,j) , на яку ступінь нульового елемента досягає максимального значення.
- Розбивають безліч всіх гамільтонових контурів на два підмножини: підмножина гамільтонових контурів, що містять дугу (i,j) і не містять її (i*,j*). Для отримання матриці контурів, що включають дугу (i,j) , викреслюють у матриці рядок i стовпець j . Щоб уникнути утворення негамільтонова контуру, замінюють симетричний елемент (j,i) на знак «∞». Виняток дуги досягається заміною елемента у матриці на ∞.
- Проводять приведення матриці гамільтонових контурів з пошуком констант приведення H(i,j) та H(i*,j*).
- Порівнюють нижні межі підмножини гамільтонових контурів H(i,j) та H(i*,j*) . Якщо H(i,j)
- Якщо результаті розгалужень виходить матриця (2x2) , то визначають отриманий розгалуженням гамільтонів контур та її довжину.
- Порівнюють довжину гамільтонова контуру з нижніми межами обірваних гілок. Якщо довжина контуру не перевищує їх нижніх меж, то завдання вирішено. В іншому випадку розвивають гілки підмножин з нижньою межею, меншою за отриманий контур, доки не вийде маршрут з меншою довжиною.
Приклад. Розв'язати за алгоритмом Літтла завдання комівояжера з матрицею
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Рішення. Візьмемо як довільний маршрут: X 0 = (1,2); (2,3); (3,4); (4,5); (5,1). Тоді F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Для визначення нижньої межі множини скористаємося операцією редукціїабо приведення матриці за рядками, для чого необхідно в кожному рядку матриці D знайти мінімальний елемент: d i = min(j) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
d j = min(i) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Елементи матриці d ij відповідають відстані від пункту i до j.
Оскільки матриці n міст, то D є матрицею nxn з неотрицательными елементами d ij ≥ 0
Кожен допустимий маршрут є циклом, яким комівояжер відвідує місто лише один раз і повертається у вихідне місто.
Довжина маршруту визначається виразом: F(M k) = ∑d ij
Причому кожен рядок і стовпець входять до маршруту лише один раз з елементом d ij .
Крок №1.
Визначаємо ребро розгалуження
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (0 + 6) = 6 для ребра (5,2), отже, безліч розбивається на два підмножини (5,2) та (5*,2*).
Вилучення ребра(5,2) проводимо шляхом заміни елемента d 52 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворилося (5*,2*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Увімкнення ребра(5,2) проводиться шляхом виключення всіх елементів 5-го рядка та 2-го стовпця, в якому елемент d 25 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонова циклу.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Нижня межа підмножини (5,2) дорівнює: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Оскільки нижня межа цього підмножини (5,2) менша, ніж підмножини (5*,2*), то ребро (5,2) включаємо в маршрут із новим кордоном H = 35
Крок №2.
Визначаємо ребро розгалуженняі розіб'ємо все безліч маршрутів щодо цього ребра на два підмножини (i,j) та (i*,j*).
З цією метою для всіх клітин матриці з нульовими елементами замінюємо по черзі нулі на М(нескінченність) і визначаємо для них суму констант приведення, що утворилися, вони наведені в дужках.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (0 + 9) = 9 для ребра (4,3), отже, безліч розбивається на два підмножини (4,3) та (4*,3*).
Вилучення ребра(4,3) проводимо шляхом заміни елемента d 43 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворилося (4*,3*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Увімкнення ребра(4,3) проводиться шляхом виключення всіх елементів 4-го рядка та 3-го стовпця, в якому елемент d 34 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонова циклу.
Після операції приведення скорочена матриця матиме вигляд:
| i j | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| d j | 0 | 2 | 0 | 7 |
Нижня межа підмножини (4,3) дорівнює: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Оскільки 42 > 41, виключаємо підмножину (5,2) для подальшого розгалуження.
Повертаємося до колишнього плану X 1 .
План X1.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Визначаємо ребро розгалуженняі розіб'ємо все безліч маршрутів щодо цього ребра на два підмножини (i,j) та (i*,j*).
З цією метою для всіх клітин матриці з нульовими елементами замінюємо по черзі нулі на М(нескінченність) і визначаємо для них суму констант приведення, що утворилися, вони наведені в дужках.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (0 + 6) = 6 для ребра (4,2), отже, безліч розбивається на два підмножини (4,2) та (4*,2*).
Вилучення ребра(4,2) проводимо шляхом заміни елемента d 42 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворилося (4*,2*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Увімкнення ребра(4,2) проводиться шляхом виключення всіх елементів 4-го рядка та 2-го стовпця, в якому елемент d 24 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонова циклу.
В результаті отримаємо іншу скорочену матрицю (4 x 4), яка підлягає операції приведення.
Після операції приведення скорочена матриця матиме вигляд:
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Нижня межа підмножини (4,2) дорівнює: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Оскільки нижня межа цього підмножини (4,2) менша, ніж підмножини (4*,2*), то ребро (4,2) включаємо в маршрут із новим кордоном H = 41
Крок №2.
Визначаємо ребро розгалуженняі розіб'ємо все безліч маршрутів щодо цього ребра на два підмножини (i,j) та (i*,j*).
З цією метою для всіх клітин матриці з нульовими елементами замінюємо по черзі нулі на М(нескінченність) і визначаємо для них суму констант приведення, що утворилися, вони наведені в дужках.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| d j | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (4 + 5) = 9 для ребра (1,5), отже, безліч розбивається на два підмножини (1,5) та (1*,5*).
Вилучення ребра(1,5) проводимо шляхом заміни елемента d 15 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворилося (1*,5*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Увімкнення ребра(1,5) проводиться шляхом виключення всіх елементів 1-го рядка та 5-го стовпця, в якому елемент d 51 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонова циклу.
В результаті отримаємо іншу скорочену матрицю (3 x 3), яка підлягає операції приведення.
Після операції приведення скорочена матриця матиме вигляд:
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 | 0 |
Нижня межа підмножини (1,5) дорівнює: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Оскільки нижня межа цього підмножини (1,5) менша, ніж підмножини (1*,5*), то ребро (1,5) включаємо в маршрут із новим кордоном H = 41
Крок №3.
Визначаємо ребро розгалуженняі розіб'ємо все безліч маршрутів щодо цього ребра на два підмножини (i,j) та (i*,j*).
З цією метою для всіх клітин матриці з нульовими елементами замінюємо по черзі нулі на М(нескінченність) і визначаємо для них суму констант приведення, що утворилися, вони наведені в дужках.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| d j | 6 | 9 | 0 | 0 |
Найбільша сума констант приведення дорівнює (9 + 6) = 15 для ребра (2,1), отже, безліч розбивається на два підмножини (2,1) та (2*,1*).
Вилучення ребра(2,1) проводимо шляхом заміни елемента d 21 = 0 на M, після чого здійснюємо чергове приведення матриці відстаней для підмножини, що утворилося (2*,1*), в результаті отримаємо редуковану матрицю.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| d j | 6 | 0 | 0 | 15 |
Увімкнення ребра(2,1) проводиться шляхом виключення всіх елементів 2-го рядка та 1-го стовпця, в якому елемент d 12 замінюємо на М, для виключення утворення негамільтонова циклу.
В результаті отримаємо іншу скорочену матрицю (2 x 2), яка підлягає операції приведення.
Після операції приведення скорочена матриця матиме вигляд:
| i j | 3 | 4 | d i |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| d j | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
Нижня межа підмножини (2,1) дорівнює: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Оскільки нижня межа цього підмножини (2,1) менша, ніж підмножини (2*,1*), то ребро (2,1) включаємо до маршруту з новим кордоном H = 41.
Відповідно до цієї матриці включаємо в гамільтонів маршрут ребра (3,4) та (5,3).
В результаті по дереву гілкувань гамільтонів цикл утворюють ребра:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Довжина маршруту дорівнює F(Mk) = 41
Дерево рішень.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5 *, 2 *), H = 41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4 *, 2 *), H = 47 | (4,2) | (4 *, 3 *), H = 44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1 *, 5 *), H = 50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2 *, 1 *), H = 56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3 *, 4 *), H = 41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5 *, 3 *), H = 41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SAT Math Test охоплює ряд математичних методів, з акцентом на вирішенні завдань, математичні моделі та стратегічне використання математичних знань.
SAT Math Test: все, як у реальному світі
Замість того, щоб тестувати Вас з кожної теми математики, новий SAT перевіряє Ваше вміння використовувати математику, на яку Ви покладатиметеся в більшості випадків і в безлічі різних ситуацій. Питання з математичного тесту призначені для відображення вирішення задач та моделей, з якими Ви будете мати справу в
Університетському навчанні, вивчаючи безпосередньо математику, а також природничі та соціальні науки;
- Вашої щоденної професійної діяльності;
- Вашому повсякденному житті.
Наприклад, щоб відповісти на деякі питання, Вам потрібно буде використовувати кілька кроків - тому що в реальному світі ситуації, коли один простий крок є достатнім, щоб знайти рішення, зустрічається дуже рідко.
SAT Math Format
SAT Math Test: основні факти
Математична частина SAT робить основний акцент на трьох областях математики, які відіграють провідну роль у більшості академічних дисциплін вищих навчальних закладівта професійної кар'єри:
- Heart of Algebra: Основи алгебри, яка фокусується на вирішенні лінійних рівнянь та систем;
- Problem Solving and Data Analysis: Розв'язання задач та аналіз даних, які необхідні для загальної математичної грамотності;
- Passport to Advanced Math: Основи вищої математики, де задаються питання, що вимагають маніпулювання зі складними рівняннями
Математичний тест також спирається на додаткові теми з математики, включаючи геометрію та тригонометрію, найбільш важливі для навчання в університеті та професійної кар'єри.
SAT Math Test: відео
Основи алгебри
Heart of Algebra
Цей розділ SAT Math фокусується на алгебрі та ключових концепціях, які є найважливішими для успіху в коледжі та кар'єрі. Тут оцінюється здатність студентів аналізувати, вільно вирішувати та побудувати лінійні рівняння та нерівності. Студенти також повинні будуть аналізувати та вільно вирішувати рівняння та системи рівнянь з використанням кількох методів. Щоб повністю оцінити знання цього матеріалу, завдання істотно відрізнятимуться за видом та змістом. Вони можуть бути досить простими, так і вимагати стратегічного мислення і розуміння, наприклад, інтерпретація взаємодії між графічним і алгебраїчним виразами або являти собою рішення як процес міркування. Існуючі повинні продемонструвати не тільки знання методики вирішення, але й глибше розуміння концепцій, що лежать в основі лінійних рівнянь та функцій. Основи алгебри SAT Math оцінюються за шкалою від 1 до 15.
У цьому розділі будуть завдання, відповідь на які представлений множинним вибором або самостійно вирахована студентом. Використання калькулятора іноді дозволяється, але не завжди потрібне або рекомендується.
1. Побудувати, вирішити чи інтерпретувати лінійне вираження чи рівняння з однією змінною, у тих певних умов. Вираз або рівняння може мати раціональні коефіцієнти, і для спрощення виразу або рішення рівняння можуть знадобитися кілька кроків.
2. Побудувати, вирішувати чи інтерпретувати лінійні нерівності з однією змінною, у тих певних умов. Нерівність може мати раціональні коефіцієнти й у його спрощення чи вирішення може знадобитися кілька кроків.
3. Побудувати лінійну функцію, що моделює лінійну залежність між двома величинами. Іспит повинен описати лінійну залежність, яка виражає певні умови, використовуючи або рівняння з двома змінними, або функцію. Рівняння або функція матимуть раціональні коефіцієнти, і для побудови та спрощення рівняння чи функції може знадобитися кілька кроків.
4. Побудувати, вирішити та інтерпретувати системи лінійних нерівностей із двома змінними. Іспит проаналізує одну або кілька умов, що існують між двома змінними, шляхом побудови, вирішення або інтерпретації нерівності з двома змінними або системи нерівностей з двома змінними, в рамках певних заданих умов. Для побудови нерівності чи системи нерівностей може знадобитися кілька кроків чи визначити.
5. Побудувати, вирішити та інтерпретувати системи двох лінійних рівнянь із двома змінними. Іспит проаналізує одне або кілька умов, що існують між двома змінними, шляхом побудови, вирішення або аналізу системи лінійних рівнянь, в рамках певних заданих умов. Рівняння матимуть раціональні коефіцієнти, і для спрощення або вирішення системи може знадобитися кілька кроків.
6. Вирішити лінійні рівняння (або нерівності) з однією змінною. Рівняння (або нерівність) матиме раціональні коефіцієнти і може вимагати кількох кроків на вирішення. Рівняння можуть мати рішення, мати одне рішення чи нескінченне число рішень. Екзаменованому також може бути запропоновано визначити значення або коефіцієнт рівняння, що не має рішення або з нескінченним числом рішень.
7. Розв'язати системи двох лінійних рівнянь із двома змінними. Рівняння матимуть раціональні коефіцієнти, і система може мати жодного рішення, одне рішення чи нескінченного число рішень. Екзаменується також може бути запропоновано визначити значення або коефіцієнта рівняння, в якому система може не мати рішення, мати одне рішення або нескінченне число рішень.
8. Пояснити зв'язок між алгебраїчними та графічними виразами. Визначити графік, що описується заданим лінійним рівнянням, або лінійне рівняння, яке описує даний графік, визначити рівняння лінії, задане усним описом його графіка, визначить ключові особливостіграфіка лінійної функції з його рівняння, визначити, як графік може вплинути зміна його рівняння.
Вирішення задач та аналіз даних
Problem Solving and Data Analysis
Даний розділ SAT Math відображає результати досліджень, які виявили, що є важливим для успішного навчання в коледжі або університеті. Тести вимагають вирішення завдань та аналіз даних: вміння математично описувати певну ситуацію, враховуючи задіяні елементи, знати та використовувати різні властивості математичних операцій та чисел. Завдання у цій категорії вимагають значного досвіду у логічних міркуваннях.
Від екзаменованих потрібно знання обчислень середніх значень показників, загальні закономірності та відхилення від загальної картини та поширення у множинах.
Всі питання щодо вирішення завдань та аналізу даних перевіряють здатність екзаменованих використовувати їх математичне розуміння та навички для вирішення проблем, з якими вони можуть зіткнутися у реальному світі. Багато хто з цих проблем задаються в академічних та професійних контекстах і, швидше за все, будуть пов'язані з наукою та соціологією.
Вирішення завдань та аналіз даних - один із трьох підрозділів SAT Math, за вирішення яких нараховуються бали від 1 до 15.
У цьому розділі будуть завдання з відповідями з множинним вибором або розраховані екзаменованим. Використання калькулятора тут завжди дозволене, але не завжди потрібне або рекомендується.
У цій частині SAT Math Вам можуть потрапити наступні питання:
1. Використовуйте коефіцієнти, ставки, пропорції та масштабні креслення для вирішення одно- та багатокрокових завдань. Існуючі будуть використовувати пропорційний взаємозв'язок між двома змінними для вирішення багатоетапного завдання для визначення відношення або швидкості; Обчислити коефіцієнт або ставку, а потім вирішити багатоступінчасту задачу, використовуючи задане співвідношення або коефіцієнт, вирішити багатоступінчасту проблему.
2. Розв'язати одно- та багатоступінчасті завдання з відсотками. Екзаменований вирішуватиме багаторівневе завдання для визначення відсотка. Обчислити відсоток від числа, а потім вирішити багаторівневе завдання. Використовуючи заданий процент, вирішити багаторівневу проблему.
3. Розв'язати одно- та багатоступінчасті завдання на обчислення. Екзаменований вирішуватиме багаторівневе завдання, щоб визначити одиницю ставки; Розрахувати одиницю виміру, та був вирішити багатокрокову проблему; Вирішити багаторівневе завдання для завершення перетворення одиниці; Розв'язати багатостадійне завдання розрахунку густини; Або використати поняття щільності для вирішення багатоетапної проблеми.
4. Використовуючи діаграми розсіювання, вирішити лінійні, квадратичні або експонентні моделі для опису того, як пов'язані змінні. Враховуючи діаграму розсіювання, вибрати рівняння лінії чи кривій відповідності; Інтерпретувати лінію у тих ситуації; Або використовуйте лінію або криву, що найкраще підходять для передбачення.
5. Використовуючи зв'язок між двома змінними, досліджуйте ключові функції графіка. Екзаменований встановить зв'язку між графічним виразом даних та властивостями графіка, обравши графік, який представляє описані властивості, або використовуючи графік, визначити значення або безлічі значень.
6. Порівняйте лінійне зростання з експонентним зростанням. Іспит повинен знайти відповідність між двома змінними, щоб визначити, який тип моделі є оптимальним.
7, використовуючи таблиці, обчислювати дані для різних категорій величин, відносних частот та умовної ймовірності. Іспит використовує дані за різними категоріями для розрахунку умовних частот, умовних ймовірностей, асоціації змінних або незалежності подій.
8. Зробити висновки про параметри популяції з урахуванням вибіркових даних. Іспит оцінює параметр популяції, враховуючи результати випадкової вибірки населення. У статистиці вибірки можуть вказуватися довірчі інтервали та похибка вимірювання, які учень повинен розуміти та використовувати, без необхідності їхнього розрахунку.
9. Використовувати методи статистики для розрахунку середніх величин та поширення. Іспит буде обчислювати середню величину та / або розподіл для заданого набору даних або використовувати дані статистики для порівняння двох окремих наборів даних.
10. Оцінювати звіти, робити висновки, обґрунтовувати висновки та визначати доцільність методів збору даних. Звіти можуть складатися з таблиць, графіків чи текстових зведень.
Основи вищої математики
Passport to Advanced Math
Цей розділ SAT Math включають теми, оволодіння якими особливо важливо для учнів, перед тим, як приступити до вивчення вищої математики. Головним тут є розуміння структури виразів та здатність аналізувати, маніпулювати та спрощувати ці висловлювання. Сюди також входить уміння аналізувати складніші рівняння та функції.
Як і два попередні розділи SAT Math, завдання оцінюються від 1 до 15.
У цьому розділі будуть завдання з відповідями з множинним вибором або розраховані самим іспитом. Використання калькулятора іноді дозволяється, але не завжди необхідно або рекомендується.
У цій частині SAT Math Вам можуть потрапити наступні питання:
1. Складіть квадратичну або експоненційну функцію або рівняння, що моделює ці умови. Рівняння матиме раціональні коефіцієнти і може зажадати кілька кроків спрощення чи розв'язання.
2. Визначте найбільш відповідну форму виразу або рівняння, щоб виявити конкретну ознаку з огляду на задані умови.
3. Побудувати еквівалентні висловлювання за участю раціональних експонентів та радикалів, включаючи спрощення або перетворення на іншу форму.
4. Побудувати еквівалентну форму виразу алгебри.
5. Розв'яжіть квадратне рівняння, що має раціональні коефіцієнти. Рівняння може бути представлене широкому діапазоні форм.
6. Скласти, відняти і перемножити багаточлени та спростити результат. Вирази матимуть раціональні коефіцієнти.
7. Розв'яжіть рівняння в одній змінній, яка містить радикали або містить змінну в знаменнику дробу. Рівняння матиме раціональні коефіцієнти.
8. Розв'яжіть систему лінійних або квадратних рівнянь. Рівняння матимуть раціональні коефіцієнти.
9. Спростити прості раціональні вирази. Іспити будуть складати, віднімати, множити або ділити два раціональні виразиабо ділити два багаточлени і спрощувати їх. Вирази матимуть раціональні коефіцієнти.
10. Інтерпретувати частини нелінійних виразів у термінах умов. Існуючі повинні пов'язати задані умови з нелінійним рівнянням, яке моделює ці умови.
11. Розуміти взаємозв'язок між нулями та множниками у багаточленах та використовувати ці знання для побудови графіків. Існуючі будуть використовувати властивості багаточленів для вирішення завдань, пов'язаних з нулями, таких як визначення, чи є вираз множником багаточлена, з урахуванням наданої інформації.
12. Розуміти зв'язок між двома змінними шляхом встановлення зв'язків між їх алгебраїчними та графічними виразами. Екзаменований повинен вміти вибрати графік, що відповідає даному нелінійному рівнянню; інтерпретувати графіки у контексті розв'язання систем рівнянь; вибрати нелінійне рівняння, що відповідає даному графіку; визначити рівняння кривої з урахуванням вербального опису графіка; визначити ключові особливості графіка лінійної функції з його рівняння; визначити вплив на графік зміни визначального рівняння.
Що перевіряє математичний розділ SAT math
Загальне володіння дисципліною
Математичний тест – це шанс показати, що Ви:
Виконуєте математичні завдання гнучко, точно, ефективно та з використанням стратегії вирішення;
- Вирішуєте завдання швидко, ідентифікуючи та використовуючи найефективніші підходи до вирішення. Це може включати вирішення завдань шляхом
підстановки, пошуку якнайшвидшого шляху або реорганізації наданої вами інформації;
Концептуальне розуміння
Ви продемонструєте своє розуміння математичних понять, операцій та співвідношень. Наприклад, Вас можуть попросити встановити зв'язок між властивостями лінійних рівнянь, їх графіками та умовами, які вони висловлюють.
Застосування знання предмета
Багато завдань SAT Math взяті з реальних життєвих проблем та просять Вас проаналізувати цю проблему, визначити основні елементи, необхідні для її вирішення, математично висловити цю проблему та знайти рішення.
Використання калькулятора
Калькулятори важливі інструментищодо математичних обчислень. Для успішного навчання у ВНЗ Вам потрібно знати, як і коли їх використовувати. У частині тесту Math Test-Calculator ви зможете зосередитись на самому пошуку рішення та аналізі, тому що Ваш калькулятор допоможе заощадити ваш час.
Тим не менш, калькулятор, як і будь-який інструмент, розумний настільки, як той, хто його використовує. Math Test має деякі питання, в яких краще не використовувати калькулятор, навіть якщо це Вам дозволено. У цих ситуаціях екзаменовані, які вміють думати і міркувати, швидше за все, дійдуть відповіді раніше тих, хто наосліп використовуватиме калькулятор.
Частина Math Test-No Calculator полегшує можливість оцінити Ваше загальне знання предмета та розуміння деяких математичних концепцій. Він також перевіряє знайомство з технікою обчислень та розуміння концепції чисел.
Питання із занесенням відповідей до таблиці
Хоча більшість питань з математичного тесту є множинним вибором, 22 відсотки - це питання, де відповіді є результатом обчислень самого екзаменованого - вони називають grid-ins. Замість того, щоб вибирати правильну відповідь зі списку, Вам необхідно вирішити завдання та ввести свої відповіді до сіток, зазначених у бланку відповідей.
Відповіді із занесенням до таблиці
Позначте не більше одного гуртка у будь-якому стовпці;
- Тільки відповіді, зазначені заповненням гуртка, будуть зараховані (Ви не отримаєте бали за все, що написано в полях, розташованих над
колами).
- Не має значення, в якій колонці ви починаєте вводити свої відповіді; важливо, щоб відповіді були записані всередині сітки, тоді Ви отримаєте бали;
- Сітка може містити лише чотири знаки після коми і може приймати лише позитивні числа та нуль.
- Якщо в завданні не зазначено інакше, відповіді можуть бути введені в сітку як десяткові, так і дробові;
- Дроби, такі як 3/24, не потребують скорочення до мінімальних значень;
- Усі змішані числа повинні бути перетворені на неправильні дроби, перш ніж записуватися в сітку;
- Якщо відповідь є десятковим числом, що повторюється, учні повинні встановити найбільш точні значення, які будуть
враховувати.
Нижче наведено зразок інструкцій, які будуть бачити на іспиті SAT Math:
Разом з цим калькулятором також використовують такі:
Графічний метод вирішення ЗЛП
Симплексний метод вирішення ЗЛП
Рішення матричної гри
За допомогою сервісу в онлайн режимі можна визначити ціну матричної гри (нижню та верхню межі), перевірити наявність сідлової точки, знайти рішення змішаної стратегії методами: мінімакс, симплекс-метод, графічний (геометричний) метод, методом Брауна.
Екстремум функції двох змінних
Завдання динамічного програмування
Першим етапом вирішення транспортного завданняє визначення її типу (відкрита чи закрита, чи інакше збалансована чи не збалансована). Наближені методи ( методи знаходження опорного плану) дозволяють на другий етап рішенняза невелику кількість кроків отримати допустиме, але не завжди оптимальне, вирішення задачі. До цієї групи методів відносяться методи:
- викреслення (метод подвійної переваги);
- північно-західного кута;
- мінімального елемента;
- апроксимації Фогеля.
Опорне вирішення транспортного завдання
Опорним вирішенням транспортного завданняназивається будь-яке допустиме рішення, якого вектори умов, відповідні позитивним координатам, лінійно незалежні. Для перевірки лінійної незалежності векторів умов, які відповідають координатам допустимого рішення, використовують цикли.Цикломназивається така послідовність клітин таблиці транспортної задачі, в якій дві і тільки сусідні клітини розташовані в одному рядку або стовпці, причому перша та остання також знаходяться в одному рядку або стовпці. Система векторів умов транспортного завдання лінійно незалежна тоді і лише тоді, коли з відповідних їм клітин таблиці не можна утворити жодного циклу. Отже, допустиме рішення транспортного завдання, i = 1,2, ..., m; j=1,2,...,n є опорним лише тому випадку, як із зайнятих ним клітин таблиці не можна утворити жодного циклу.
Наближені методи розв'язання транспортного завдання.
Метод викреслення (метод подвійної переваги). Якщо в рядку або стовпці таблиці одна зайнята клітина, вона не може входити в будь-який цикл, оскільки цикл має дві і тільки дві клітинки в кожному стовпці. Отже, можна викреслити всі рядки таблиці, що містять по одній зайнятій клітині, потім викреслити всі стовпці, що містять по одній зайнятій клітині, далі повернутися до рядків і продовжити викреслювання рядків та стовпців. Якщо в результаті викреслення всі рядки та стовпці будуть викреслені, значить, із зайнятих клітин таблиці не можна виділити частину, що утворює цикл, і система відповідних векторів умов є лінійно незалежною, а рішення є опорним. Якщо після викреслень залишиться частина клітин, ці клітини утворюють цикл, система відповідних векторів умов лінійно залежна, а рішення перестав бути опорним.
Метод «північно-західного кута»полягає в послідовному переборі рядків і стовпців транспортної таблиці, починаючи з лівого стовпця і верхнього рядка, та виписуванні максимально можливих відвантажень у відповідні осередки таблиці так, щоб не були перевищені заявлені завдання можливості постачальника або потреби споживача. На ціни доставки у цьому методі не звертають уваги, оскільки передбачається подальша оптимізація відвантажень.
Метод "мінімального елемента". Відрізняючись простотою цей спосіб все ж таки ефективніше ніж, наприклад, спосіб Північно-західного кута. Крім того, метод мінімального елемента зрозумілий та логічний. Його суть у тому, що у транспортній таблиці спочатку заповнюються осередки з найменшими тарифами, а потім уже осередки з більшими тарифами. Тобто ми вибираємо перевезення із мінімальною вартістю доставки вантажу. Це очевидний та логічний хід. Щоправда, він не завжди призводить до оптимального плану.
Метод «апроксимації Фогеля». При методі апроксимації Фогеля на кожній ітерації по всіх стовпцях і всіх рядках знаходять різницю між двома записаними в них мінімальними тарифами. Ці різниці записують у спеціально відведених для цього рядку та стовпці у таблиці умов задачі. Серед зазначених різниць вибирають мінімальну. У рядку (або в стовпці), якому ця різниця відповідає, визначають мінімальний тариф. Клітину, в якій він записаний, заповнюють на цій ітерації.
Приклад №1. Матриця тарифів (тут кількість постачальників дорівнює 4, кількість магазинів дорівнює 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Запаси | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| Потреби | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Умови балансу дотримуються. Запаси дорівнюють потребам. Отже, модель транспортного завдання закрита. Якби модель вийшла відкритою, потрібно було б вводити додаткових постачальників чи споживачів.
На другому етапіздійснюється пошук опорного плану методами, наведеними вище (найпоширенішим є метод найменшої вартості).
Для демонстрації алгоритму наведемо лише кілька ітерацій.
Ітерація №1. Мінімальний елемент матриці дорівнює нулю. Для цього елемента запаси дорівнюють 60 потреби 30 . Вибираємо їх мінімальне число 30 і віднімаємо його (див. у таблиці). При цьому з таблиці викреслюємо шостий стовпець (потреби у нього дорівнюють 0).
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Ітерація №2. Знову шукаємо мінімум (0). З пари (60; 50) вибираємо мінімальне число 50. Викреслюємо п'ятий стовпець.
| 3 | 20 | 8 | x | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | x | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | x | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Ітерація №3. Процес продовжуємо доти, доки не виберемо всі потреби та запаси.
Ітерація №N. Шуканий елемент дорівнює 8. Для цього елемента запаси дорівнюють потребам (40).
| 3 | x | 8 | x | 4 | x | 40 - 40 = 0 |
| x | x | x | x | 3 | 0 | 0 |
| x | 4 | x | x | x | x | 0 |
| x | x | x | 0 | 1 | x | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Запаси | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Потреби | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Підрахуємо число зайнятих клітин таблиці, їх 8, а має бути m + n – 1 = 9. Отже, опорний план є виродженим. Будуємо новий план. Іноді доводиться будувати кілька опорних планів, як знайти не вироджений.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Запаси | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Потреби | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Через війну отримано перший опорний план, який є допустимим, оскільки кількість зайнятих клітин таблиці дорівнює 9 і відповідає формулі m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, тобто. опорний план є невиродженим.
Третій етапполягає у покращенні знайденого опорного плану. Тут використовують метод потенціалів чи розподільчий метод. У цьому етапі правильність рішення можна контролювати через функцію вартості F(x) . Якщо вона зменшується (за умови мінімізації витрат), то перебіг рішення правильний.
Приклад №2. Використовуючи метод мінімального тарифу, подати початковий план на вирішення транспортної задачи. Перевірити оптимальність, використовуючи метод потенціалів.
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Приклад №3. Чотири кондитерські фабрики можуть виготовляти три види кондитерських виробів. Витрати на виробництво одного центнера (ц) кондитерських виробів кожною фабрикою, виробничі потужності фабрик (ц на місяць) та добові потреби у кондитерських виробах (ц на місяць) зазначені у таблиці. Скласти план виробництва кондитерських виробів, який мінімізує сумарні витрати на виробництво.
Примітка. Тут попередньо можна транспонувати таблицю витрат, оскільки для класичної постановки транспортного завдання спочатку слідують потужності (виробництво), а потім споживачі.
Приклад №4. На будівництво об'єктів цегла надходить із трьох (I, II, III) заводів. Заводи мають на складах відповідно 50, 100 та 50 тис. шт. цегли. Об'єкти вимагають відповідно 50, 70, 40 та 40 тис. шт. цегли. Тарифи (ден. од./тис.шт.) наведено у таблиці. Складіть план перевезень, який мінімізує сумарні транспортні витрати.
буде закритою якщо:А) a = 40, b = 45
Б) a = 45, b = 40
В) a = 11, b = 12
Умова закритого транспортного завдання : ∑a = ∑b
Знаходимо, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Отримуємо: 55+b = 60+a
Рівність буде дотримуватися тільки за a=40, b=45
Як елементарний mate curriculum for supplementary or home school should teach much more than the “how to” of simple arithmetic. A good math curriculum should have elementary math activities that build a solid foundation which is both deep and broad, conceptual and “how to”.
Time4Learning teaches a comprehensive mate curriculum що correlates to state standards. За допомогою комбінації мультимедійних повідомлень, printable worksheets, і оцінки, елементарні дії дій є розроблені для створення міцного матемінару. Це може бути використане як , an , або як for enrichment.
Time4Learning has no hidden fees, offers a 14-день гроші guarantee для brand new members, and allows members до start, stop, or pause at anytime. Try the interactive or view our to see what's available.
Teaching Elementary Math Strategies
Хлопці повинні зайняти художні тренування, використовуючи елементарні художні завдання, які визнають curriculum в наступній послідовності, створеної для створення достатньої освіти для успіху. Let’s start with what appears to be a simple math fact: 3 + 5 = 8
Це фактичне майно як хороший матір для тебе, тільки для дітей може count. Але здатність до пристосування до концепції “3 + 5 = 8” вимагається підтвердженням цих елементарних MATH-концептів:
- Quantity– realizing that numbers of items can be counted. Quantity is a common concept whether we are counting fingers, dogs or trees.
- Number recognition– knowing numbers by name, numeral, pictorial representation, чи a quantity of the items.
- Number meaning– Resolving the confusion між цифрами, які становлять або послідовність (cardinal vs. ordinal numbers).
- Operations– Підстава, що вартість може бути прив'язана і що цей процес може бути зроблений з зображеннями, словами, або номерами.
Щоб відмітити більше коротких зображень, спрямованих на teach addition with “carrying over” prior having a solid understanding of place value is a recipe for confusion. Тільки після mastering basic math concepts should a child try more advanced elementary math activities, як addition. Trying to teach elementary math strategies prior to mastering basic math concepts cause confusion, creating a sense of being lost or of being weak at math. Дитина може закінчитися розвинути повний self image або negative view of math all because of poor math curriculum.
Це важливо, щоб зробити елементарні matematice curriculum, що mateach mate in a sequence, використовуючи елементарні matematické діячі, які здатні до того, як progresive build understanding, skills, і confidence. Quality teaching and curriculum follows a quality sequence.
Time4Learning teaches personalized elementary math curriculum geared to your child's current skill level. Це означає, що ваше дитя має solid mate foundation before introducing harder, more complex elementary math strategies. , Включені в curriculum, забезпечується практика в підходящих шкільних областях, що є необхідною для успіху під час елементарної школи. Get your child on the right path, o Time4Learning's strategies для teaching elementary math.
Time4Learning's Elementary Math Curriculum
Time4Learning's math curriculum contains a wide range of elementary math activity, which cover more than just arithmetic, math facts, and operations. Наші елементарні mate curіculum teaches these five math strands.*
- Number Sense and Operations– Відображає, як цифри, відображають 'how many', є в групі, і використовуючи номери, щоб compare and represent paves the way for grasping number theory, place value and meaning of operations and how they relate to one another.
- Algebra– Здатність до sort and order objects or numbers and recognizing and building on simple patterns are examples of ways children begin to experience algebra. Цей елементарний matematický concept sets the working for working with algebraic variables as child's math experience grows.
- Geometry and Spatial Sense– Children build on they knowledge of basic shapes to identify more complex 2-D and 3-D shapes by drawing and sorting. Вони беруть участь у виконанні spatially, read maps, visualize objects in space, і use geometric modeling to solve problems. Eventually children will be able to use coordinate geometry to specify locations, give directions and describe spatial relationships.
- Measurement- Learning how to measure and compare involves concepts of length, weight, temperature, capacity and money. Telling the time and using money links to understanding of the number system and represents an important life skill.
- Data Analysis and Probability– As children collect information about the worldзавдавши їм, вони будуть дотримуватися його, що використовується для відображення і становлять їх знання. Використання листів, шрифтів, графів буде внесено до них, щоб дізнатися про share and organize data.
Elementary math curriculums що охоплює тільки одну або дві ці п'ять матері сторони є нагрудні і тягнуться до weak understanding of math. Help your child build a strong, broad math foundation.
Lesia М. Ohnivchuk
Abstract
Матеріали досліджують, як розширити функціональність LMS Moodle, коли створюється e-learning courses для математичних наук, в особливих e-learning courses "Elementary Mathematics" за допомогою flash technology and Java-applets. Там є приклади використання flash-застосунків і Java-applets в курсі "Elementary Mathematics".
Keywords
LMS Moodle; e-learning courses; technology flash; Java-applet, GeoGebra
References
Brandão, L. O., "iGeom: a free software for dynamic geometry in the web", International Conference on Sciences and Mathematics Education, Rio de Janeiro, Brazil, 2002.
Brandão, L. O. and Eisnmann, A. L. K. “Працюю в процесі: iComb Project - математичний widget для вивчають і вивчати комбінаторики через exercises” Proceedings of the 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, 24
Kamiya, R. H і Brandão, L. O. “iVProg – система для інспекторів програмування через Visual Model on the Internet. Proceedings of XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (in Portuguese).
Moodle.org: open-source community-based tools for learning [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://www.moodle.org.
MoodleDocs [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://docs.moodle.org.
Інтерактивні технології навчання: теорія, практика, досвід: методичний посібник авт.-уклад.: О. Пометун, Л. Пироженко. - К.: АПН; 2004. - 136 с.
Dmitry Pupinin. Question Type: Flash [Електронний ресурс]. – Режим доступу: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26.02.14.
Андрєєв А. В., Герасименко П. С.. Використання Flash та SCORM для створення завдань підсумкового контролю [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 –26.02.14.
GeoGebra. Матеріали [Електронний ресурс]. – Режим доступу: http://tube.geogebra.org.
Хохенватор М. Вступ до GeoGebra / М. Хохенватор / пров. Т. С. Рябова. - 2012. - 153 с.
REFERENCES (TRANSLATED AND TRANSLITERATED)
Brandão, L. O. "iGeom: free software для dynamickої geometry in the web", International Conference on Sciences and Mathematics Education, Rio de Janeiro, Brazil, 2002 (in English).
Brandão, L. O. and Eisnmann, A. L. K. “Працює в процесі: iComb Project - математичний матеріал для навчання і навчання комбінаториків через практики” 39th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, 2009, T4G
Kamiya, R. H і Brandão, L. O. “iVProg – система для інспекторів програмування через Visual Model on the Internet. Proceedings of the XX Simpósio Brasileiro de Informática na Educação, 2009 (in English).
Moodle.org: open-source community-based tools for learning . – Available from: http://www.moodle.org (in English).
MoodleDocs. – Available from: http://docs.moodle.org (in English).
Pometun O. I., Pirozhenko L. V. Modern lesson, Київ, ASK Publ., 2004, 192 p. (in Ukrainian).
Dmitry Pupinin. Question Type: Flash. – Available from: https://moodle.org/mod/data/view.php?d=13&rid=2493&filter=1 – 26.02.14 (in English).
Andreev А., Gerasimenko Р. За допомогою Flash і SCORM для створення рішень фінального контролю . – Available from: http://cdp.tti.sfedu.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=1071&Itemid=363 – 26.02.14 (in Ukrainian).
GeoGebra Wiki. – Available from: http://www.geogebra.org (in English).
Hohenwarter M. Introduction in GeoGebra / M. Hohenwarter. – 2012. – 153 s. (in English).
DOI: https://doi.org/10.33407/itlt.v48i4.1249
Copyright (c) 2015 Lesia М. Ohnivchuk
